Polynomial OPtimization - POP

Responsable : Victor MAGRON
Représentant des doctorants : Alexey LAZAREV

L'équipe POP mène des recherches pour résoudre des problèmes notoirement difficiles et non-convexes d'optimisation polynomiale, apparaissant dans de multiples domaines applicatifs.

Les deux dernières décennies ont vu émerger l'optimisation polynomiale comme une nouvelle discipline scientifique, au sein de laquelle de puissants certificats de positivité (issus de la géométrie algébrique réelle) basés sur les sommes de carrés, des représentations des mesures par leurs moments, et la dualité en optimisation conique,  ont permis de développer une approche originale et systématique pour résoudre à l'optimalité globale des problèmes d'optimisation avec des entrées polynomiales (et plus généralement semi-algébriques).

L'outil principal de cette méthodologie est la hiérarchie dite "Moments-Sommes de carrés", aussi appelée "hiérarchie de Lasserre" qui a attiré beaucoup d'attention dans plusieurs domaines (optimisation, mathématiques appliquées, information quantique, ingénieurie, informatique théorique) avec d'importantes applications potentielles. 

Cette hiérarchie est devenue un outil de base pour analyser la complexité de certaines approximations en optimisation combinatoire, et pourrait constituer le meilleur algorithme pour prouver/contredire la célèbre conjecture des jeux uniques de Khot.
Récemment, elle constitue une nouvelle méthode prometteuse pour résoudre le problème important de l'optimal power flow dans le domaine stratégique des réseaux d'énergie.

Trois ouvrages ont été récemment rédigés sur les thèmes de la hiérarchie Moment-Sommes de carrés, des noyaux de Christoffel-Darboux et de l'optimisation polynomiale parcimonieuse.

En résumé, l'optimisation polynomiale est au coeur d'une activité inter-disciplinaire grandissante à l'intersection des mathématiques appliquées, de la commande automatique et de l'informatique, avec plusieurs applications d'intérêt, telles que la théorie de l'information quantique, les réseaux profonds et les systèmes électriques.

L'ensemble de ces activités est mené grâce à plusieurs projets financés, d'envergure nationale, européenne ou internationale.